Tabellenkalkulation: Derivate und Integrale
Kalkül kann etwas schwierig sein, wenn Sie es zum ersten Mal lernen. So können Sie Tabellenkalkulationsprogramme zu Ihrem Vorteil nutzen. Verwenden Sie diese Option, um Ihre Antworten zu überprüfen oder sich ein Bild davon zu machen, wie ein Diagramm aussieht. Wenn Sie eine Integration durchführen, wissen Sie wahrscheinlich auch, dass es einige Funktionen gibt, die keine elementaren Antiderivative enthalten. Sie können Tabellenkalkulationen verwenden, um zu visualisieren, wie die Antiderivate dieser Funktionen aussehen.
Nur eine kurze Anmerkung: Während dieser Anleitung bezeichne ich mich selbst als wir. Dies ist nicht das königliche Wir, ich mache dieses Projekt mit einer Gruppe von 3 anderen Leuten für eine Klasse bei UBC. Wenn ich also sage, wir meinen wir uns, meine Gruppe.
Schritt 1: Stellen Sie Ihre X-Werte ein
Als erstes benötigen Sie ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel, Numbers oder OpenOffice. Wenn Sie nicht wissen, wie man eines dieser Programme benutzt, machen Sie sich keine Sorgen, es ist ziemlich einfach zu lernen.
Zur Demonstration verwenden wir die Gleichung y = 2x3 + 6x2-12x + 4. Es ist die gleiche Gleichung wie im Bild unten, die viel besser aussieht. Wir haben diese Gleichung gewählt, weil es einfach ist, eine Ableitung und ein Antiderivativ zu finden, damit wir unsere Antwort überprüfen können.
Zuerst möchten Sie Ihre x-Werte in Ihre Tabelle eintragen. Ich habe meine von -5 auf 5 gesetzt. Stellen Sie auch Ihre Schrittgröße ein, ich setze meine auf 0, 1. Sie könnten auch 0, 01 verwenden (es wäre etwas genauer), aber Sie möchten im Allgemeinen nicht kleiner werden. Sobald Ihre Spalten mehr als ein paar tausend Zellen lang sind, dauert es ewig, bis Ihr Computer sie alle gleichzeitig verarbeitet. Für meinen Computer funktionieren unter 1000 Zellen normalerweise gut.
Tragen Sie Ihre Schrittweite in eine Zelle ein (ich verwende A2). Setzen Sie Ihren Anfangswert oben in die nächste Spalte. Das zweite Bild unten zeigt Ihnen, wie dies aussehen sollte. Geben Sie dann in die Zelle unter (B2) "= B1 + $ A $ 2" ohne Anführungszeichen ein und drücken Sie die Eingabetaste. Die Dollarzeichen weisen Ihr Tabellenkalkulationsprogramm an, auf A2 zu verweisen, unabhängig davon, in welche Zelle Sie die Gleichung kopieren. Platzieren Sie den Cursor über der unteren rechten Ecke der Zelle. Es sollte ein kleines schwarzes Quadrat geben. Klicken Sie darauf und ziehen Sie es nach unten. Wenn Sie es ziehen, sollten die Zahlen langsam größer werden. Es ist schwer zu beschreiben, schauen Sie sich das dritte Bild an. Ziehen Sie dieses Feld nach unten, bis Sie das andere Ende Ihres X-Bereichs erreichen, in diesem Fall 5.
Schritt 2: Schließen Sie Ihre Funktion an und zeichnen Sie sie grafisch auf
Schließen Sie jetzt einfach Ihre Funktion an, sodass jede Zelle eine Funktion der daneben ist. Überall dort, wo Sie eine undefinierte Variable (x) haben, geben Sie einfach B1, B2 usw. ein, je nachdem, an welcher Zelle Sie arbeiten. In diesem Fall schreiben Sie "= 2 * B13 + 6 * B12-12 * B1 + 4" in das Feld C1 (verwenden Sie Shift + 6, um das Potenzzeichen in Excel zu erstellen. Instructables überschreiben einfach alles, wenn ich es hier verwende.) Hinweis dass es die gleiche Funktion wie zuvor ist, außer dass wir anstelle von X B1 verwenden. Stellen Sie außerdem sicher, dass Sie Sternchen für Multiplikationszeichen eingeben. Es ist sinnvoll, 2B1 zu schreiben, aber es funktioniert nicht. Schreiben Sie 2 * B1.
Ziehen Sie als Nächstes Ihre Box wie im vorherigen Schritt ganz nach unten. Wenn Sie Excel verwenden, können Sie auch auf die untere rechte Ecke Ihrer Zelle doppelklicken, und dies wird für Sie erledigt.
Nun, um es grafisch darzustellen. Suchen Sie die Schaltfläche "Diagramme" in dem von Ihnen verwendeten Tabellenkalkulationsprogramm. Stellen Sie sicher, dass Sie ein XY-Streudiagramm erstellen. Klicken Sie dann mit der rechten Maustaste auf Ihr neues Diagramm und klicken Sie auf "Daten auswählen". Ihre X-Werte (Spalte B) sollen Ihre X-Werte und Ihre Y-Werte (Spalte C) Ihre Y-Werte sein. Klicken Sie auf OK.
Sie sollten jetzt eine schöne Darstellung Ihrer Daten haben. Es wird wahrscheinlich eine riesige Sammlung von Punkten sein. Wenn Sie mit der rechten Maustaste auf die Datenpunkte in Ihrem Diagramm klicken und "Datenreihen formatieren" auswählen, können Sie sie stattdessen in eine Linie umwandeln (stellen Sie sicher, dass Sie "geglättete Linie" aktivieren, wenn Sie dies getan haben die Option.) Gehen Sie auch zum Markierungsstil und wählen Sie "keine Markierung", die ihnen gerade im Weg steht.
Da ist deine Funktion, jetzt kommt das lustige Zeug, Derivate und Integrale!
Schritt 3: Differenzieren Sie es!
Das Auftragen des Derivats ist relativ einfach. Ein Derivat hat die Form "dy / dx", mit anderen Worten die Änderung von y gegenüber der Änderung von x. Die Änderung von x ist einfach und ändert sich nie. Es ist genau das, was wir in Zelle A2 geschrieben haben, die in diesem Fall 0, 1 beträgt. Die Änderung von y wird einfach der Unterschied zwischen den Zellen sein, was nicht schwer herauszufinden ist. Geben Sie "= (C2-C1) / $ A $ 2" für Zelle D2 ein und ziehen Sie sie nach unten (oder doppelklicken Sie unten rechts in der Zelle). Das Bild sollte Ihnen eine gute Vorstellung davon geben, was zu tun ist. Es wird nichts in Zelle D1 geben, durch Differenzieren verlieren wir eine der Zellen, aber wenn Ihr dx klein genug ist, spielt es keine Rolle. Stellen Sie sicher, dass Sie dies in D2 anstelle von D1 eingeben. Wenn Sie es ganz nach unten ziehen, wird in der letzten Zelle keine lächerlich große Zahl angezeigt.
Zeichnen Sie dies in dasselbe Diagramm wie das letzte und verwenden Sie dieselben x-Werte wie zuvor. Da ist dein Derivat. Sie können die Ableitung auch von Hand durchführen und zeichnen, um sicherzustellen, dass sie übereinstimmt.
Dies ist hilfreich, wenn Sie Probleme bei der Unterscheidung einer Funktion haben und sehen möchten, wie die Ableitung aussieht. Sobald Sie den Dreh raus haben, wird es ziemlich einfach und Sie werden das nicht wirklich brauchen. Die Integration ist dagegen etwas schwieriger, es gibt auch einige Funktionen, die Sie nicht integrieren können. Machen wir es mit Tabellenkalkulationen!
Schritt 4: Integrieren!
Ein Integral ist im Wesentlichen der Bereich zwischen einer Kurve und der x-Achse. Es gibt auch einen "negativen Bereich", wenn die Funktion negativ ist. Das Integral ist die Nettofläche unter einer Kurve. Das sollte ziemlich einfach zu berechnen sein.
Wir finden das Gebiet mit einer Näherungsmethode, die als Riemann-Summen bekannt ist. Grundsätzlich zeichnen wir viele Rechtecke, die sich der Form unserer Kurve annähern. Wenn wir die Fläche jedes Rechtecks addieren, kennen wir (mehr oder weniger) die Fläche unter der Kurve. Das Bild unten sagt mehr als tausend Worte.
Geben Sie in Zelle E1 "= C1 * $ A $ 2" ein und ziehen Sie diese nach unten. Dies sind die "Rechtecke", die wir addieren müssen.
Geben Sie in Zelle F1 "= SUMME ($ E $ 1: E1)" ein und ziehen Sie die Zelle nach unten. Was Sie hier tun, ist das Addieren aller Rechtecke von Zelle eins zu Zelle x. Dies ist das unbestimmte Integral. Fahren Sie fort und zeichnen Sie es auf Ihrem Grundstück auf. Alle Integrale sind durch eine Konstante verbunden. Wenn Sie stattdessen im letzten Schritt "= SUM ($ E $ 1: E1) +200" eingegeben hätten, wäre dies immer noch das gesuchte Integral. Es spielt keine Rolle, welche Konstante Sie verwenden.
Schritt 5: Lassen Sie uns ein bestimmtes Integral erstellen
Wenn Sie sich in einem Kalkülkurs befinden, werden Sie wahrscheinlich aufgefordert, einige bestimmte Integrale zu erstellen. Grundsätzlich integrieren Sie von einem x-Wert in einen anderen. Mit dem Integral, das Sie gerade erstellt haben, kann es ziemlich einfach sein, Ihre Antwort zu überprüfen. Versuchen wir zum Beispiel das unten gezeigte Integral. Dies ist die, die wir gerade geplant haben. Wenn Sie bereits wissen, wie man integriert, lösen Sie es von Hand, sollten Sie 92.5 erhalten.
Um es ohne Tabellenkalkulation zu approximieren, schreiben wir einfach (in eine beliebige Zelle) "= F81-F31". In Zeile 81 ist x = 3, in Zeile 31 ist x = -2. Was Sie tun, ist, das unbestimmte Integral bei x = 3 zu nehmen und das unbestimmte Integral zu subtrahieren, wenn x = -2 davon ist.
In dieser Tabelle erhielten wir eine Antwort von 94, 58. Keine schlechte Annäherung, aber es würde Ihnen keine Punkte für eine Hausaufgabe bringen (es sei denn, Sie werden gebeten, eine Funktion mit endlichen Summen zu approximieren.) Wenn Sie eine Schrittgröße von 0, 01 verwenden, erhalten Sie 92, 70, noch genauer. Bei einer Schrittgröße von 0, 001 erhalten Sie 92, 52, was noch genauer ist. Es wäre einfach lächerlich, kleinere Schrittgrößen zu versuchen. Es würde ein paar hunderttausend Zellen dauern, und Ihr Computer würde eine Weile brauchen, um es herauszufinden.
Ich habe die Demo-Tabelle unten angehängt. Genießen.
Anhänge
