Wie man faktorisiert
Trifft der Anblick einer Zahl oder eines Ausdrucks, der von den Anweisungen "Faktor vollständig" begleitet wird, Angst in Ihr Herz? Wünschte, Sie hätten in der Algebra aufgepasst? In dieser Anleitung lernen Sie, wie Sie eine beliebige Zahl oder einen geeigneten Ausdruck wie Ax ^ 2 + Bx + C faktorisieren.
Schritt 1: Zahlen faktorisieren
Was ist ein Faktor?
"Natürliche Zahlenfaktoren" sind der vollständige Satz ganzer Zahlen. Wenn Sie eine Zahl im Satz mit einer anderen im Satz multiplizieren, erhalten Sie die Zahl, die Sie berücksichtigen.
Zum Beispiel hat die Zahl 5 zwei Faktoren: 1 und 5. Die Zahl 6 hat vier Faktoren: 1, 2, 3 und 6.
"Ganzzahlige Faktoren" umfassen negative Zahlen.
Die Zahl 5 hätte in diesem Fall vier Faktoren: -5, -1, 1 und 5. 6 hätte acht Faktoren: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 und 6.
(Natürliche Zahlen sind Zahlen ohne Brüche, beginnend mit 1, 2, 3, 4, 5 ... bis unendlich. Ganzzahlen sind natürliche Zahlen sowie ihre negativen Gegenstücke und 0 oder ...- 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...)
Das Faktorisieren von Zahlen mit dem natürlichen Zahlensatz ist einfach. Jede Zahl hat mindestens zwei Faktoren. Um andere Faktoren zu finden, teilen Sie die Zahl beginnend mit zwei und arbeiten Sie sich bis zu dieser durch 2 geteilten Zahl vor. Jeder Quotient ohne Rest bedeutet, dass sowohl der Divisor als auch der Quotient Faktoren dieser Zahl sind.
Angenommen, Sie müssen die Zahl 9 faktorisieren. Sie können nicht gleichmäßig durch zwei teilen, also überspringen wir sie. (Beachten Sie die Lösung 4.5, damit Sie später wissen, wann Sie aufhören müssen.) 9 ist durch 3 teilbar. Fügen Sie also 3 zu Ihrer Liste der Faktoren hinzu. Arbeiten Sie sich nach oben, bis Sie durch 5 teilen (9 geteilt durch 2, aufgerundet). Sie erhalten 1, 3 und 9 als Liste der Faktoren.
Wenn Sie Zahlen in der Ganzzahlmenge faktorisieren, können Sie einfach das negative Äquivalent Ihrer Lösungen aus dem natürlichen Zahlenfaktor addieren. 9 hätte also Faktoren von -9, -3, -1, 1, 3 und 9.
Das Faktorisieren negativer Zahlen kann nur mit ganzzahligem Factoring erfolgen. Die Lösung ist dieselbe, die Sie erhalten, wenn Sie die positive Version der Zahl berücksichtigen. -9 hat Faktoren von -9, -3, -1, 1, 3 und 9.
Null ist die einzige Ganzzahl mit unendlich vielen Faktoren und die einzige mit Null als Faktor.
Schritt 2: Faktorisieren des GCF aus einem Ausdruck
Und nein, ich meine nicht, den Ausdruck Ihres Chefs zu berücksichtigen, wenn Sie ihm sagen, dass Sie versehentlich den Pausenraum mit Kaffee überflutet haben.
Algebraische Ausdrücke bestehen aus Zahlen, die als Koeffizienten bezeichnet werden, und Variablen, die zu einer Potenz erhoben werden können. Im Ausdruck x ^ 2 + 6x + 8 ist 1 der Koeffizient von x ^ 2, der Variablen. (Wenn Sie vor einer Variablen keinen Koeffizienten sehen, ist dies eine 1, da x ^ 2 mit 1 multipliziert wird.) Ebenso ist 6 ein Koeffizient von x ^ 1. (Eine einzelne Variable wird auf eine Potenz von eins angehoben.) 8 wird als Konstante bezeichnet - sie wird nicht mit einer Variablen multipliziert. (Sie können sich vorstellen, dass es mit x ^ 0 multipliziert wird und jede auf die 0. Potenz erhobene Zahl gleich 1 ist.)
Um einen Ausdruck zu faktorisieren, müssen Sie zunächst den GCF oder den größten gemeinsamen Faktor herausrechnen. Listen Sie die Faktoren jeder Komponente des Ausdrucks auf. Hier sind wir daran interessiert, die natürlichen Zahlenfaktoren zu finden.
Der Ausdruck x ^ 2 + 6x + 8 hätte Faktoren, die so aussehen:
x ^ 2: 1
6x: 1, 2, 3, 6
8: 1, 2, 4, 8
Wenn Sie sich die drei Listen ansehen, gibt es nur eine Sache, die alle gemeinsam haben: die Nummer eins. Dies bedeutet, dass kein Koeffizient größer als eins herausgerechnet werden muss.
Dann schauen Sie sich die Kräfte der Exponenten an. 2, 1 und 0. Wenn Sie eine Null sehen, kann der Ausdruck nicht von einer Variablen berücksichtigt werden.
Dieser Ausdruck ist bereit für den nächsten Schritt.
Hier ist ein Beispiel mit einem GCF, der herausgerechnet werden muss: 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10x. Faktor jeder Teil:
2x ^ 3: 1, 2
18x ^ 2: 1, 2, 3, 6, 9, 18
10x: 1, 2, 5, 10
Hier können wir sehen, dass die Teile 1 und 2 gemeinsam haben. Wir finden die größte Zahl, 2.
Dann betrachten wir die Potenzen der Exponenten: 3, 2 und 1. Finden Sie die kleinste Zahl, die nicht 0 ist, in diesem Fall die Zahl eins. Das heißt, x ^ 1 oder einfach x kann in den Ausdruck unterteilt werden.
Multiplizieren Sie die Zahl und die Variable, um 2x zu erhalten. Teilen Sie dann jeden Teil des Ausdrucks durch 2x.
2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5
Der Ausdruck mit dem herausgerechneten GCF ist 2x (x ^ 2 + 9x + 5). Beachten Sie, dass Sie den faktorisierten Ausdruck in Klammern setzen und den GCF daneben schreiben müssen.
Schritt 3: Faktorisierung von Binomen
Binome sind Ausdrücke, bei denen nur zwei Begriffe hinzugefügt werden.
2x ^ 2 - 4x ist ein Beispiel für ein Binomial. (Man kann sagen, dass ein negatives 4x zu 2x2 hinzugefügt wird.)
Berechnen Sie zunächst den GCF 2x. Du hast noch 2x (x - 2). Dies ist so weit wie dieses Binomial gehen kann. Ein Binom in der Form 1x +/- n kann nicht weiter berücksichtigt werden.
Wenn Sie ein Binomial haben, das eine Variable mit einem geraden Exponenten ist und zu einer negativen Zahl hinzugefügt wird, deren Quadratwurzel eine natürliche Zahl ist, wird es als perfektes Quadrat bezeichnet.
x ^ 2 - 4 ist ein Beispiel dafür. Es kann ausgedrückt werden als das Produkt der Quadratwurzel der Variablen plus der Quadratwurzel der positiven Konstante und der Quadratwurzel der Variablen minus der Quadratwurzel der positiven Konstante.
Huh?
Nehmen Sie im Grunde die Quadratwurzel der Variablen. Sie werden mit x enden. Dann Quadratwurzel 4. Sie erhalten 2. Wenn Sie sie addieren, erhalten Sie x + 2. Subtrahieren Sie sie und Sie erhalten x-2. Multiplizieren Sie die beiden und Sie erhalten (x + 4) (x-4). Sie haben gerade ein perfektes Quadrat berücksichtigt.
Wenn Sie (x + 2) (x-2) mit FOIL multiplizieren, erhalten Sie wieder x ^ 2-4.
(FOIL: First Outer Inner Last, eine Möglichkeit, zwei Binome miteinander zu multiplizieren. Multiplizieren Sie die ersten Terme der Binome (in diesem Fall x und x), dann die beiden äußeren (x und -2) und dann die beiden inneren (2 und) x), dann die letzten Terme (2 und -2), dann addieren Sie sie alle. x ^ 2 - 2x + 2x - 4 = x ^ 2 - 4.)
Dies kann erneut durchgeführt werden, wenn eines der Binome ein perfektes Quadrat ist, wie in diesem Fall:
x ^ 4 - 16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 - 4) = (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x - 2).
Dies kann weiter berücksichtigt werden, wenn Sie irrationale Zahlen eingeben, siehe Schritt [9].
Wie man Binome in Form von (x ^ 3 + b ^ 3) faktorisiert:
Einfach an (a - b) anschließen (a ^ 2 + ab + b ^ 2). Zum Beispiel ist (x ^ 3 + 8) = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4).
Wie man Binome in Form von (x ^ 3 - b ^ 3) faktorisiert:
Stecken Sie in (a + b) (a ^ 2 - ab + b2). Beachten Sie, dass die ersten beiden Zeichen im Ausdruck vertauscht sind.
(x ^ 3 - 8) = (x + 2) (x ^ 2 - 2x + 4).
Beide Beispiele können weiter berücksichtigt werden, sobald Sie in Schritt [4] gelernt haben, wie man Trinome faktorisiert.
Schritt 4: Faktorisierung von Trinomen
Trinome: Ein Ausdruck mit drei zusammengesetzten Begriffen. 2x ^ 2 + 6x - 8 wird als unser glücklicher Demonstrator dienen.
Berechnen Sie zunächst den GCF. Dies ist IMMER Ihr erster Schritt, wenn Sie einen Ausdruck berücksichtigen.
2 (x ^ 2 + 3x - 4)
Wenn Sie nach dem Ausklammern des GCF eine Potenz von x größer als zwei haben, fahren Sie mit einem weiteren Schritt fort.
Listen Sie die ganzzahligen Faktoren der Konstanten auf. Du wirst zwei Paare wie folgt haben wollen:
-4, 1
-2, 2
-1, 4
Sie möchten eine davon finden, die, wenn sie addiert wird, dem Koeffizienten des zweiten Terms entspricht: 3. -1 + 4 = 3. Schreiben Sie von hier aus zwei Sätze von Klammern mit x nach innen:
(x) (x)
Dann kleben Sie die beiden Begriffe, die gearbeitet haben, in die Klammern.
(x - 1) (x + 4)
Vergessen Sie nicht, den GCF wieder hinzuzufügen.
2 (x - 1) (x + 4)
So faktorisieren Sie ein Trinom.
Hier ist noch eine: 2x ^ 2 + 11x - 6.
Diesmal gibt es eine Wendung: Der Koeffizient von x ^ 2 ist nicht 1. Dies bedeutet, dass wir einen weiteren Schritt hinzufügen werden:
Listen Sie die Faktoren der Konstanten -6 sowie den Koeffizienten x2, 2 auf.
-6, 1
-3, 2
-2, 3
-1, 6
1, 2
Jetzt möchten Sie jeden der Faktoren auf der linken Seite mit 1 und auf der rechten Seite mit 2 multiplizieren. Wiederholen Sie dies, indem Sie die 1 und 2 umschalten. Am Ende erhalten Sie
-6, 2
-3, 4
-2, 6
-1, 12
-12, 1
-6, 2
-4, 3
-2, 6
Suchen Sie das Paar, das sich zum Koeffizienten des Mittelwerts addiert. In diesem Fall -1 + 12 = 11. Stellen Sie die Klammern auf:
(x) (x)
Geben Sie die ursprünglichen Zahlen ein (die Sie vor dem Multiplizieren mit 1 und 2 hatten):
(x - 1) (x + 6)
Geben Sie dann eins und zwei als Koeffizienten von x ein, sodass Sie 11 erhalten, wenn Sie die äußeren und inneren Terme multiplizieren und addieren.
(2x - 1) (x + 6)
Wenn Sie Ihre Arbeit überprüfen, indem Sie sie AUSFÜLLEN, erhalten Sie 2x ^ 2 + 11x - 6, den Ausdruck, mit dem Sie begonnen haben. Glückwunsch!
Schritt 5: Faktorisierung von Trinomen durch Substitution
9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14.
Glauben Sie nicht, dass dieser Ausdruck mit kleineren Zahlen und variablen Potenzen leichter zu faktorisieren wäre?
Sie können eine niedrigere Zahl und eine variable Leistung wie folgt ersetzen:
Setze n = 3x ^ 2 (der GCF der variablen Potenzen und die Quadratwurzel des GCF der Koeffizienten von Zahlen multipliziert mit einer Potenz von x). Ersetzen Sie es dann, indem Sie die Begriffe im ursprünglichen Ausdruck durch n teilen.
n ^ 2 + 15n + 14.
Jetzt können Sie leicht faktorisieren.
(n + 14) (n + 1).
Stecke das 3x ^ 2 zurück in den Ausdruck, in dem sich die n befinden.
(3x ^ 2 + 14) (3x ^ 2 + 1).
Schritt 6: Die quadratische Gleichung
Wenn keine der Kombinationen (aus Schritt 4) richtig ist, müssen Sie die quadratische Gleichung verwenden.
(-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / 2a
(sqrt (#) = Quadratwurzel von #)
Wo ein Trinom die Form ax ^ 2 + bx + c hat.
Wenn Sie also die quadratische Formel mit 1x ^ 2 + 3x + 2 verwenden möchten, schließen Sie sie wie folgt an:
(-3 +/- sqrt (3 ^ 2 - 4 (-2) (1)) / 2.
Dies vereinfacht sich auf (-3 +/- sqrt 17) / 2. Die Faktoren von 1x ^ 2 + 3x + 2 wären (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). (Sie kleben die Antwort rechts neben ein "x -". Weitere Informationen dazu, warum dies funktioniert, finden Sie in Schritt [8].)
Schritt 7: Polynome durch Gruppierung faktorisieren
Manchmal erhalten Sie vier oder mehr Begriffe, die ungefähr so aussehen:
2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8
Es gibt keinen gemeinsamen Koeffizienten, und das Ausklammern von x ^ 2 hilft nicht viel. Hier würden Sie die Gruppierung zum Faktorisieren verwenden.
Gruppieren bedeutet, den GCF von nur zwei Begriffen des Ausdrucks herauszurechnen. Sie können sehen, dass 2x ^ 2 + 6x ^ 3 und 5x ^ 7 + 15x ^ 8 beide einen GCF herausnehmen können. Tun Sie dies.
2x ^ 2 (1 + 3x) + 5x ^ 7 (1 + 3x)
Beachten Sie, dass es einen gemeinsamen Faktor gibt, 1 + 3x. Dieser Ausdruck kann in (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) umformuliert werden. Da ist deine Antwort.
Beachten Sie, dass (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) weiter berücksichtigt werden kann, indem ein x ^ 2 aus dem ersten Binom herausgerechnet wird: x ^ 2 (2 + 5x ^ 5) (1 + 3x).
Schritt 8: Faktorisierung von Polynomen nach synthetischer Teilung
Manchmal bekommt man tierische Polynome, die so aussehen, als hätten sie keine Hoffnung.
3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2 ist ein Beispiel. Sie können die Gruppierung nicht verwenden, um einen GCF so herauszufiltern, dass ein gemeinsamer Faktor entsteht.
Um zu erklären, wie dies funktioniert, müssen Sie wissen, dass Sie beim Lösen einer Gleichung durch Factoring das herausgerechnete Ding gleich 0 setzen und herausfinden müssen, was X gleich ist, damit es gleich Null ist. Zum Beispiel ist 0 = (x - 2) (x + 1). Die Lösungen sind 2 und -1.
Wenn ein Polynom ganzzahlige Koeffizienten hat, hat jede Null oder Lösung die Form P / Q, wobei P = ein Faktor des konstanten Terms und Q = ein Faktor des führenden Koeffizienten.
Wenn Sie in jeder Kombination alle Faktoren der Konstanten auflisten und durch die Faktoren des führenden Koeffizienten (des Koeffizienten neben der Variablen mit der höchsten Potenz) dividieren, erhalten Sie eine Liste möglicher rationaler Lösungen. Wie hilft Ihnen das zu berücksichtigen? Wenn Sie 2 als Lösung erhalten, können Sie rückwärts arbeiten und sagen, dass einer der Faktoren der Gleichung (x - 2) war.
Zurück zum Beispiel:
Faktoren von 2: +/- 1, +/- 2 (Sie müssen Negative einschließen)
Faktoren von 3: +/- 1, +/- 3
P / Q: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3
Sobald Sie Ihre Liste haben, verwenden Sie eine sogenannte synthetische Division, um zu sehen, welche dieser P / Qs tatsächlich Lösungen sind.
Die synthetische Division ist eine Möglichkeit, Polynome durch ein Binom der Form xk zu teilen. Ich werde nicht erklären, wie es funktioniert, sondern nur zeigen, wie man es für das Factoring verwendet.
Setzen Sie zuerst eines Ihrer P / Qs in ein kleines Kästchen oder einen Satz Klammern und listen Sie dann die Koeffizienten und Konstanten in einer Reihe daneben auf. Wenn das Polynom eine Potenz überspringt (x ^ 2 + 2), müssen Sie eine 0 hinzufügen, für die x1 hätte sein sollen.
(Ausdruck: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)
(Ignorieren Sie die Sternchen, sie werden als Platzhalter verwendet. Besser noch, siehe das erste Bild.)
(1) 3 8 -9 2
Lassen Sie ein Leerzeichen, zeichnen Sie eine Linie und lassen Sie den ersten Term 3 nach unten fallen.
(1) 3 8 -9 2
***3
Dann multiplizieren Sie es mit der Zahl in der Box und setzen Sie es unter den nächsten Begriff.
(1) 3 8 -9 2
******3
***3
Addiere 8 + 3
(1) 3 8 -9 2
******3
*** 3 11
Multiplizieren.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11
*** 3 11
Hinzufügen.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11
*** 3 11 2
Multiplizieren.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2
*** 3 11 2
Hinzufügen.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2
*** 3 11 2 4
Diese Zahlenfolge 3, 11, 2, 4 gibt Ihnen einen Ausdruck mit einem Grad weniger (wenn der höchste Exponent im ursprünglichen Ausdruck 3 ist, ist der höchste Exponent im Quotienten eine 2) sowie einen Rest.
(Ursprünglicher Ausdruck: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)
Quotient: 3x ^ 2 + 11x + 2 Rest 4
Wenn Sie einen Rest erhalten, ist die Zahl in dem Feld, das Sie ausprobiert haben, keine Lösung für die Gleichung. Kreuzen Sie diese Nummer von Ihrer Liste an und versuchen Sie es erneut mit einer anderen Nummer. Es ist so ziemlich zu raten und zu überprüfen.
Schließlich werden Sie 1/3 versuchen und Sie werden feststellen, dass es sich sauber teilt. Sie werden am Ende haben mit:
(x - 1/3) (3x ^ 2 + 9x - 6).
Jetzt, wo Sie ein Trinom der Potenz zwei haben, können Sie zurückgehen und es faktorisieren. Vergessen Sie nicht, zuerst den GCF herauszunehmen! Sie haben (x - 1/3) (3) (1x ^ 2 + 3x + 2). Berücksichtigen Sie das Trinom über die quadratische Gleichung (diese Gleichung wurde in Schritt [6] als Beispiel verwendet, lesen Sie also bei Bedarf zurück). Sie erhalten (3) (x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). Sehr hässlich, aber so machst du es.
Schritt 9: Weiteres Faktorisieren: Irrationale und Imaginäre
Die Binomialzahl, ohne dass eine perfekte Wurzel von einer quadratischen Variablen wie (x ^ 2 - 2) subtrahiert wird, kann mithilfe von Quadratwurzeln weiter berücksichtigt werden. (x + sqrt (2)) (x - sqrt (2)). Dies bringt die irrationale Menge von Zahlen.
Binome mit einer Zahl, die zu einer quadratischen Variablen wie (x ^ 2 + 1) hinzugefügt wird, können unter Verwendung imaginärer Zahlen weiter berücksichtigt werden. "i" steht für die Quadratwurzel der negativen. So kann (x ^ 2 + 1) in (x + i) (x - i) berücksichtigt werden. Dies bringt die imaginäre Menge von Zahlen.
Schritt 10: Huzzah!
Sie wissen jetzt, wie Sie eine Zahl oder einen Ausdruck faktorisieren können, auf den Sie wahrscheinlich jemals stoßen werden. Schön für dich!
Es gibt auch Programme, die dies für Sie tun können. Wenn Sie "Polyroot" googeln, erhalten Sie Links zu einigen Programmen für Ihren Computer. In den Grafikrechnern HP 39 / 40gs ist die Polyroot-Funktion integriert. Wenn Sie über einen TI-89-Grafikrechner verfügen, verfügt dieser auch über eine Factoring-Funktion. Frühere TI-Grafikrechner haben es nicht eingebaut, aber sie haben Factoring-Programme. Google "ti quadratic solver" für Programme, die Sie auf Ihren TI-Grafikrechner übertragen können.
Sie können auch reale Lösungen für quadratische Gleichungen finden, indem Sie sie grafisch darstellen und mit der Funktion 'Null' berechnen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Sie können diese Zahl dann neben ein "x -" setzen.
Haftungsausschluss: Die meisten Mathematikklassen verbieten entweder Taschenrechner, die faktorisieren können, oder lassen Sie den Speicher (zusammen mit Programmen) von programmierbaren Taschenrechnern löschen. Wenn Lösungen eine nicht natürliche Wurzel haben, erhalten Sie eine lange Folge von Dezimalstellen, die als Antwort ungeeignet ist. Lerne einfach, wie es von Hand geht.
